Swoje pierwsze piłkarskie kroki Enke stawiał w małym klubie z rodzinnej Jeny o nazwie SV Jena Pharm. Niedługo potem podjął jednak treningi w dużo bardziej znanym Carl Zeiss Jena. W sezonie 1995/1996 został zawodnikiem pierwszej drużyny i wtedy też zadebiutował w rozgrywkach 2. Bundesligi. Dla Jeny rozegrał 3 spotkania i latem 1996 przeszedł do Borussii Mönchengladbach. Przez 2 lata musiał uznać wyższość Uwe Kampsa, a po zakończeniu jego kariery, Enke stał się pierwszym bramkarzem Borussii i 15 sierpnia 1998 roku zadebiutował w Bundeslidze meczem z Schalke 04 (3:0). Był podstawowym zawodnikiem zespołu, ale ten zajmując ostatnie miejsce został zdegradowany o klasę niżej.

W 1999 Enke przeszedł do portugalskiej SL Benfica. W lizbońskim zespole od początku stał się podstawowym zawodnikiem wygrywając rywalizację z Argentyńczykiem Carlosem Bossio. Benfica przechodziła jednak duży kryzys i poza zajęciem 3. miejsca w 2000 roku i 4. w 2002 Enke nie osiągnął żadnych sukcesów. Grał jednak na tyle dobrze, że latem 2002 Joan Gaspart sprowadził go do Barcelony. W zespole był jednak trzecim bramkarzem po Carlosie Bonano i Victorze Valdésie i poza debiutem (2 marca 2003: CA Osasuna-Barcelona 2:2) nie zagrał w żadnym ze spotkań, a Barcelona zajęła dopiero 6. miejsce w lidze. W 2003 roku wypożyczono Roberta do tureckiego Fenerbahçe SK, w którym zagrał tylko jedno spotkanie, a w rundzie wiosennej trafił do drugoligowego CD Tenerife.

Latem 2004 na zasadzie wolnego transferu Enke przeszedł do Hannoveru. W jego barwach zadebiutował 7 sierpnia w przegranym 1:2 meczu z Bayerem Leverkusen. Po powrocie do Niemiec stał się jednym z solidniejszych bramkarzy tamtejszej ligi. W 2005 roku zajął swoje najwyższe miejsce za czasów gry w tym klubie, czyli 10. Natomiast w sezonie 2006/2007 zakończył ligę z Hannoverem na 11. pozycji.